Cooperación en tiempos de crisis.

En este texto se desarrollará un breve modelo que tratará de explicar las decisiones a la hora de actuar siguiendo las recomendaciones del gobierno en torno a la crisis del Coronavirus. Para ello, se utilizará la teoría de juegos, puesto que los resultados de cooperación entre individuos se plasmarán a través de un modelo que emplea la misma. Con la finalidad de informar más al lector sobre esta rama de la matemática, primero se presentará, brevemente, la teoría de juegos. A continuación, se elaborará el marco bajo el cual se desarrolla el modelo que se pretende explicar. Para concluir, se explicará ligeramente alguna de las intuiciones que deja ver el modelo.

La teoría de juegos estudia, utilizando métodos matemáticos, situaciones de competición y cooperación entre distintas partes involucradas en una toma de decisión. Decisiones entre las que se encuentran escenarios de competición económica entre dos empresas, decisiones estratégicas en tiempos de guerra, problemas sociales de cooperación ciudadana, comportamiento animal, estrategias políticas o juegos simples como puede ser pares y nones.

La mayor parte de modelos trabaja con funciones de utilidad. Una función de utilidad intenta poner valor numérico a la satisfacción que uno obtiene al realizar una tarea o actividad. Puede ser común entre individuos, pero lo lógico es que difiera. No todo el mundo valora en la misma medida un paseo por el monte, dependerá de las preferencias que se tengan. En muchos casos estas utilidades están restringida a otras variables. E.g. el tiempo que dedicaré a estudiar y al ocio sabiendo que tengo un máximo de 8 horas a dividir entre estas actividades. En este ejemplo, tenemos dos variables (tiempo de estudio y tiempo de ocio)  que, combinadas, reportan una utilidad. Existe una restricción horaria que hace que, en función de las preferencias puntuales de cada individuo, se maximice el tiempo invertido en cada actividad. Si uno tiene un examen al día siguiente tiene incentivos para que las preferencias sitúen mayor utilidad en dedicar más horas al estudio. Por ello, la maximización de las funciones de utilidad hace que se obtengan pagos (payoffs). Los pagos son una manera numérica de expresar la utilidad individual que reporta una determinada acción. En la teoría de juegos, las decisiones individuales afectan a los pagos que recibirán el resto de los actores presentes en la toma de decisión, así como sus decisiones tendrán un impacto en los que reciba uno mismo. De esta manera, es lógico que, cuando exista un impacto en las utilidades individuales, se tengan en cuenta las decisiones de los demás a la hora de elegir una acción, para maximizar las ganancias (tanto individuales como colectivas). Por consiguiente, puede haber situaciones en las que ambas partes decidan cooperar para no perder, aunque estén sacrificando ganar.

Imaginemos una situación en la que dos personas desconocidas (Laura y Pilar) quedan a cenar. La cuenta final de la copiosa cena tiene distintas opciones de pago. Puede pagarla entera, por un lado, Laura o, por otro, Pilar. La decisión se tomará a cara o cruz. Sin embargo, pueden decidir pagarla a medias. Dependerá de las preferencias y aversión al riesgo que tenga cada una, pero una opción viable puede ser dividir la cuantía para evitar la posibilidad de hacer frente a la suma total.

La teoría de juegos modeliza estas situaciones, en muchos casos a través de los denominados juegos, en los que se transforma de manera numérica el impacto que cada posible decisión tiene en la utilidad obtenida. Existen juegos estáticos simultáneos, en los que los participantes toman una única decisión de manera simultánea. Se puede pensar en pares y nones. Por otro lado, existen juegos secuenciales en los que los presentes se dividen en turnos la toma de decisión. En estos casos se puede pensar en situaciones en las que un gobierno nacional toma una decisión y, en base a ella, un gobierno regional decide posteriormente. A continuación, se desarrollará un juego estático de manera simultánea en la que se pondrá de marco la crisis del covid-19. Aun así, antes, se describirán los conceptos formales que configuran un juego y se pondrá en contexto el marco elegido.

Los jugadores serán aquellos individuos o partes que componen un proceso de decisión. En este caso se cuenta con dos jugadores: jugador 1 y jugador 2. Sus posibles acciones se despliegan en una matriz, las columnas corresponderán al jugador 2, mientras que las filas lo harán al jugador 1. Dentro de cada casilla encontramos los pagos que obtiene cada jugador si se lleva a cabo esa estrategia como decisión final, siendo el primer pago el del jugador 1 y el contiguo el del jugador 2. Veamos un breve ejemplo, que se conoce como la batalla de los sexos (battle of sexes), para ilustrar al lector.

Eduardo y Lucía son una pareja que debe decidir individualmente qué hacer al salir del trabajo, ir al teatro o ir al fútbol. No tienen método de comunicación alguno, por tanto, deberán decidir por su cuenta, aun así, considerando las preferencias de la otra parte. A Eduardo le gusta ir al teatro, mientras que Lucía disfruta yendo al fútbol. Sin embargo, ambos prefieren estar juntos a estar separados. Eduardo ocupa el puesto de jugador 1 y Lucía de jugadora 2.

1/2FÚTBOLTEATRO
FÚTBOL1;20;0
TEATRO0;02;1

En este ejemplo ningún jugador tiene una estrategia dominante, es decir, no existe una estrategia fija que sea independiente de la decisión del otro jugador. Cuando Lucía decide ir al fútbol, Eduardo tiene la opción de elegir una de las dos actividades, pero escogerá aquella que le reporte un pago mayor (1 vs 0), que será la mejor respuesta de Eduardo ante la respuesta de ir al fútbol de Lucía. Si se desarrolla para el resto de los casos, se obtiene que el equilibrio sería: {(F;F),(T;T)}. Cuando un jugador predice que la otra parte tomará una decisión concreta: ir al fútbol, por ejemplo; no le quedará más remedio que replicarla. Aunque sea imposible predecir el resultado, sabemos que, en función de la intuición que tengan Eduardo y Lucía, se encontrará un equilibrio. Si la última noche hablaron acerca de un partido de fútbol, es posible que ambos tengan en mente ese evento y no les quede más remido que intuir que esa será la estrategia que tome el otro, ya que no hay método de comunicación.

La mejor respuesta de un jugador se da cuando se elige una estrategia en función de la elección fija del otro. La mejor respuesta de Eduardo cuando Lucía iba al fútbol era ir también allí. El resultado subrayado en amarillo se denomina equilibrio de Nash. Este sucede cuando las mejores respuestas de los jugadores coinciden en una misma casilla de la matriz. Por lo tanto, en esta situación ningún jugador moverá su decisión, ya que está ejecutando su mejor estrategia dada la del contrario.

MODELO:

Habiendo presentado una noción de la teoría de juegos, con las formalidades y la dinámica de resolución necesaria, se presentará el marco en el que se pretende desarrollar la entrada. Haciendo referencia a la crisis del Coronavirus y cómo se intentó mitigar la expansión del mismo en España, se construirá este breve modelo, que explica la toma de decisiones individuales de las cuales se obtiene un beneficio personal. Tras, aproximadamente, casi 50 días de cuarentena, entendida como confinamiento en el hogar salvo actividades esenciales a realizar fuera del mismo, el gobierno nacional decidió levantar de forma leve la restricción de movilidad permitiendo a los individuos la posibilidad de pasear o hacer deporte durante una hora al día. Este plan se ejecutó dividiendo a la población en grupos distintos de edad y otorgándoles un abanico de posibilidades horarias para realizar las actividades comentadas. También se recomendó el uso de mascarillas, pues éstas serían parte del día a día de los conciudadanos en las futuras fechas. Aunque el uso de mascarilla reduzca en cierta medida la probabilidad de ser contagiado, en lo que se ha considerado efectivo su uso es en reducir la probabilidad de contagiar. Por ello, la política de evitar contagios sería realmente efectiva cuando todo el mundo hiciera uso de ella. Aun así, su uso es algo incómodo por distintos motivos: la población no tiene la costumbre de utilizarlas, entorpece la respiración, puede restar visibilidad, etc. Por lo que puede ser que no todos hagan uso de las mascarillas. Es aquí donde entran las estrategias a llevar a cabo. Se podría decir, obviando muchos otros aportes beneficiosos, que uno hace uso de las mascarillas para evitar contagiar y, cuando el resto de las personas las lleve, evitaría ser contagiado.

NO INTERNALIZACIÓN DEL BENEFICIO SOCIAL:

Si no se internaliza el beneficio social de llevar mascarilla, un individuo sólo se beneficia si el resto de los contactos las llevase. De otra manera, es porque a mi no me aporta nada ayudar al resto a no contagiarse por lo que no obtengo beneficio por ello. Es exclusivamente el hecho de no contagiarme el que me reconforta.

Para explicarlo, se elaborará un juego en el que dos jugadores deberán elegir entre llevar y no llevar mascarilla. A ambos les incomoda hacer uso de ella, por ello cuando no la lleven, recibirán un pago fijo de 1, explicado por la comodidad. En el momento en el que el otro jugador la utilice, se sumará otro pago de 1, ya que evitaría en gran parte ser contagiado (en el caso de ser portador de covid-19 el otro jugador). Así pues, el individuo con mascarilla recibirá un pago de 0, al que únicamente se le sumará un pago de 1 si el otro también la lleva. Explicado en una matriz:

1/2CONSIN
CON1;10;2
SIN2;01;1

Como vemos, en este caso sí que existe una estrategia dominante: salir a la calle sin mascarilla. Independientemente de lo que elija el jugador 2, el jugador 1 siempre escogerá no llevar mascarilla. Igualmente, a la inversa. El resultado sitúa el equilibrio de Nash en no llevar mascarilla: {(SIN;SIN)}.

INTERNALIZACIÓN DEL BENEFICIO SOCIAL:

En esta situación los jugadores internalizan el beneficio del otro. Por ello, cuando lleven mascarilla recibirán un pago fijo de 1, al ayudar al otro jugador, y recibirán una prima de 1 si el contrario también dispone de ella. En cambio, cuando no la utilicen recibirán un pago de 0, el pago anterior de 1 se ve compensado con el de -1 por no colaborar con el otro. Si se modeliza en una matriz se obtendría lo siguiente:

1/2CONSIN
CON2;21;1
SIN1;10;0

Se puede apreciar que la estrategia dominante de cada jugador cambia de salir sin mascarilla a salir con mascarilla. Esto hace que el equilibrio se mueva a la primera casilla: {(CON;CON)}. Al internalizar los beneficios de otros jugadores, los pagos se ven alterados y, por tanto, los incentivos de cada jugador son distintos.

MODELO MIXTO:

Finalmente, si se combinasen las situaciones anteriores para crear un último juego, se tendría un jugador que internaliza los beneficios sociales y otro que no. En el siguiente ejemplo los roles los desempeñarán el jugador 1 y 2, respectivamente. Siguiendo la dinámica anterior, resumiendo los resultados en una matriz, se puede ver el siguiente equilibrio:

1/2CONSIN
CON2;11;2
SIN1;00;1

Siendo una combinación de los ejemplos de arriba, se puede deducir que el jugador que internaliza los beneficios sociales tendrá una estrategia dominante de salir con mascarilla y el jugador que no los internaliza, tendrá la de salir sin ella. Por ello, el equilibrio se sitúa en: {(CON;SIN)}.

En esta entrada se ha intentado explicar, utilizando la teoría de juegos, situaciones de actuación individual que poseen una repercusión social. En este caso, las decisiones dependen de los incentivos, de los pagos. El beneficio social de la política será efectivo en la medida en que se internalice individualmente éste. Si nos encontramos con una sociedad de dos individuos meramente individualistas, se podrá ver que ninguno de ellos cooperaría, como en el primer ejemplo. Únicamente sería efectiva en el segundo ejemplo, puesto que en el último se tendría a mitad de la población colaborando con las instrucciones. En muchos casos el planificador social, un ente superior a los individuos que tiene como objetivo actuar por el bien del conjunto, puede encargarse de corregir las desviaciones, cambiando los incentivos, mediante primas a los colaboradores o castigos a los retadores. Para reducir las actuaciones del planificador social, sería óptimo que los participantes entendieran y contasen como común el beneficio del contrario.

El modelo, aunque reducido a una expresión muy simple, captura actitudes individualistas que pueden verse durante estos días de crisis del covid-19. Cuando el gobierno autonómico de Madrid cerró centros universitarios y recomendó el aislamiento se pudieron ver concentraciones de jóvenes. Asimismo, cuando se levantó el confinamiento y se permitieron salidas bajo ciertas restricciones, se vieron situaciones de aglomeración social. No quiere decir esto que fuese la norma general, de hecho, se podría decir que fueron la excepción. Tampoco quiere decir que aquellos sean malvados egoístas, sino que tienen concepciones distintas de solidaridad. Aun así, se pretende explicar que el hecho de no internalizar el beneficio social puede venir acompañado con reajustes del planificador social para encontrar el equilibrio deseado.

Publicado por Jose I. Maycas Sardi

Graduado en Economía por la UC3M. Disfrutando del camino.

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